[이산수학] 행렬의 종류와 특징

이산수학에서는 다양한 형태의 행렬이 등장한다. 각각의 행렬은 특정한 구조를 가지며, 그 구조에 따라 계산이나 해석에 용이한 특성을 갖는다. 대표적인 행렬의 종류들을 살펴보자.

 

1. 정방행렬 (Square Matrix)

• 정의: 행(row)의 수와 열(column)의 수가 같은 행렬을 정방행렬이라고 한다.
• 특징: n×n 형태로 나타난다. 정방행렬은 대각선, 역행렬, 행렬식 등을 논의할 수 있는 기본 구조이다.
• 예시:

2. 대각행렬 (Diagonal Matrix)

• 정의: 정방행렬 중에서 주대각선 이외의 모든 원소가 0인 행렬을 대각행렬이라고 한다.
• 특징: 대각선의 값만 의미가 있으며, 행렬 곱이나 거듭제곱 계산이 간단하다.
• 예시:

3. 단위행렬 (Identity Matrix)

• 정의: 대각행렬 중에서도 모든 주대각선 원소가 1인 행렬을 단위행렬이라고 한다.
• 특징: 행렬의 곱셈에서 항등원 역할을 한다. 어떤 행렬 A에 대해 AI = IA = A가 성립한다.
• 예시:

4. 대칭행렬 (Symmetric Matrix)

• 정의: 정방행렬에서 원소 A_ij = A_ji가 성립하는 행렬을 대칭행렬이라고 한다.
• 특징: 주대각선을 기준으로 좌우가 서로 대칭이다.
• 예시:

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5. 역대칭행렬 (Skew-Symmetric Matrix)

• 정의: 정방행렬에서 원소 A_ij = −A_ji​가 성립하고, 주대각선의 원소는 모두 0인 행렬을 역대칭행렬이라고 한다.
• 특징: 주대각선 기준으로 좌우가 부호만 반대이다. A^T=−A 성질이 있다.
• 예시:

6. 삼각행렬 (Triangular Matrix)

• 정의: 정방행렬 중에서 대각선 위쪽이나 아래쪽에만 값이 있는 행렬을 삼각행렬이라고 한다.
• 종류: 상삼각행렬(upper triangular), 하삼각행렬(lower triangular)
• 특징: 선형 방정식의 해를 구할 때 유용하다.
• 예시:

상삼각행렬

 

하삼각행렬

7. 전치행렬 (Transpose Matrix)

• 정의: 행과 열을 바꾼 행렬을 전치행렬이라고 한다.
• 표기법: A^T 또는 A^tr
• 특징: (A^T)^T = A, (AB)^T = B^TA^T
• 예시:

8. 역행렬 (Inverse Matrix)

• 정의: 정방행렬 A에 대해 A⁻¹이 존재하고 AA⁻¹ = A⁻¹A = I를 만족하는 경우, A⁻¹을 A의 역행렬이라고 한다.
• 조건: 역행렬은 오직 행렬식이 0이 아닌 정방행렬에 대해서만 존재한다.
• 특징: 역행렬이 존재하는 행렬을 가역행렬이라고 한다.
• 예시: