[이산수학] 조합이론 - Part 3. 이항정리

이항정리란 ? 

수학에서 다항식을 전개할 때 사용하는 중요한 공식 중 하나가 이항정리다.
이 공식은 단순히 식을 전개하는 것을 넘어서,

선택과 경우의 수라는 조합의 개념이 수학적으로 어떻게 쓰이는지를 잘 보여준다.

 

가장 간단한 예부터 출발해 보자. 

중학교 때 무지성으로 외워서 수능까지 잘 써먹었던 (x + y)² = x²+2xy+y² 은 사실 조합과 관련이 깊다. 

 

✅ 1단계: 가장 간단한 예부터 출발해 보자

먼저 (x + y)²를 전개해보자.

이걸 분배법칙으로 전개하면 다음과 같다.

 

여기서 중요한 점은 xy와 yx가 사실 같은 문자 조합이라는 것이다.
즉, 순서만 다를 뿐 둘 다 똑같이 xy라는 항이 되므로 하나로 묶는다.

그렇다면 xy라는 같은 문자 조합이 만들어지는 방법은 몇 가지일까?

• 첫 번째 괄호에서 x, 두 번째에서 y 선택 → x⋅y
• 첫 번째 괄호에서 y, 두 번째에서 x 선택 → y⋅x

총 2가지 방법으로 xy라는 같은 문자 조합이 만들어진다.
그래서 xy항의 계수는 2가 된다.

 

✅ 2단계: 조합의 관점으로 확장

이번에는 조금 더 복잡한 (x + y)³ 을 예로 들어보자. 

 

이번엔 총 3개의 괄호에서 각각 x 또는 y를 하나 선택하는 것이다.
즉, 총 3번 선택이 이루어진다.

예를 들어:

• x, x, x → x³
• x, x, y → x²y
• x, y, x → x²y
• y, x, x → x²y
• ...
• y, y, y → y³

여기서 x²y라는 같은 문자 조합이 만들어지는 경우는:

1. x, x, y
2. x, y, x
3. y, x, x

총 3가지 경우가 있다.
따라서 x²y 항의 계수는 3이다.

 

이걸 우리는 조합의 관점으로 볼 수 있다.

• 총 3개의 자리 중에서 y를 1번만 선택하는 경우의 수 :

 

✅ 3단계: 이항정리 공식

이제 이항정리 공식을 보자. 

 

• 괄호가 n개 있을 때,
• 그 중 k개의 괄호에서 y를 선택하고, 나머지 n−k개는 x를 선택한다고 생각하면
• 만들어지는 항은 x^n-ky^k
• 이 같은 문자 조합이 나오는 경우의 수는:

즉, 각 항의 계수는 같은 문자 조합이 만들어지는 방법의 수이고,
그 수는 조합으로 나타낼 수 있다.

 

✅ 예제 : (x+y)¹²에서 x⁴y⁸의 계수는?

위 예제의 이항정리에서 각 항은 다음과 같은 형태를 가질 것이다. 

위 문제에서 k = 8 이므로 계수는 다음과 같다. 

여기서 잠깐 조합의 계산 공식을 복기해 보면, 

따라서 위 예제는 다음과 같이 풀 수 있다. 

따라서 답은 495가 된다. 

 

이처럼 이항정리는 단순한 전개식 공식이 아니라,
“선택과 경우의 수”라는 조합의 아이디어가 자연스럽게 녹아 있는 개념인 것이다.