[ML 스터디 2주차] 이항 분포 vs 베타 분포

 

스터디 교재: "개발자를 위한 필수 수학" by 토마스 닐드
참고 본문: 72p. 2.4 베타 분포

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책에서 사용한 엔진 테스트 예시 대신에 좀 더 단순한 예시들을 가지고 이항 분포와 베타 분포의 차이를 알아본다.

 

1. 알고자 하는 것

이항 분포와 베타 분포의 가장 큰 차이는 '무엇을 알고 있고, 무엇을 모르는가(무엇을 추정하려 하는가)'에 있다.

똑같은 동전 던지기 상황을 다루더라도 두 분포에서 알고자 하는 것은 반대 방향을 가리킨다.

1️⃣ 이항 분포: 동전의 성능을 알 때, 결과는 어떨까

앞면이 나올 확률이 50%인 정상적인 동전이 있다고 하자. 이때 "이 동전을 10번 던졌을 때 앞면이 정확히 7번 나올 확률은 얼마인가"를 묻는다.

성능(확률)은 이미 주어졌고, 궁금한 것은 성공 횟수, 즉 결과의 예측이다.

 

2️⃣ 베타 분포: 결과를 알 때, 동전의 진짜 성능은 어떨까

어떤 동전을 10번 던졌더니 앞면이 7번, 뒷면이 3번 나왔다.

이때 "이 동전이 앞면이 나올 진짜 확률은 얼마인가"를 묻는다.

0.7일 가능성이 가장 높겠지만 0.6이나 0.8일 수도 있다.

결과(횟수)는 이미 관측했고, 궁금한 것은 성공 확률 그 자체, 즉 원인의 추정이다.

 

2. 연속된 확률의 불확실성을 그리다

1️⃣ 이산형과 연속형

이항 분포는 0번, 1번, 2번처럼 셀 수 있는 정수(이산형)의 결과를 다룬다.

반면 베타 분포는 0%에서 100%(0과 1) 사이의 연속적인 확률 값을 다룬다.

현실 세계에서는 '진짜 성공 확률'을 처음부터 알 수 없는 경우가 대부분이기 때문에, 이 점에서 베타 분포가 의미가 있다.

 

2️⃣ 별점 리뷰 예시로 보는 불확실성

쇼핑몰 별점 리뷰를 예로 들어보자.

A 상품은 1명이 구매해 1명이 만족했으므로 표면적 만족도가 100%다.

B 상품은 100명이 구매해 90명이 만족했으므로 표면적 만족도가 90%다.

단순 비율만 보면 A 상품이 100%로 우수해 보이지만, 경험적으로는 90%인 B 상품을 더 신뢰한다.

A 상품은 표본이 1개뿐이라 진짜 만족도가 100%인지 매우 불확실하기 때문이다.

베타 분포는 바로 이 불확실성을 시각적으로 보여준다.

 

🔵 데이터 양에 따른 분포의 형태

데이터가 적으면(A 상품) 분포 그래프가 좌우로 넓게 퍼지며 진짜 확률이 20%일 수도, 90%일 수도 있다는 것을, 즉 아직 확신할 수 없음을 말한다.

데이터가 충분하면(B 상품) 분포 그래프가 90% 지점에 뾰족하게 솟아오르며 진짜 확률이 90% 근처로 확실함을 알려준다.

 

A 상품의 완만한 곡선은 진짜 확률이 어디든 될 수 있다는 넓은 불확실성을, B 상품의 뾰족한 곡선은 90% 근처에 확신이 집중되어 있음을 나타낸다.

3. 원인과 결과의 교차점

두 분포를 요약하면 다음과 같다.

항목	이항 분포(Binominal)	베타 분포(Beta)
알고 있는 정보	성공 확률 p, 총 시도 횟수	성공 횟수 α, 실패 횟수 β
궁금한 결과 (X값)	성공 횟수 (0, 1, 2, 3 ...)	진짜 성공 확률 (0 ~ 1 사이의 값)
값의 형태	셀 수 있는 정수 (이산형)	0과 1 사이의 연속된 소수 (연속형)
질문	"10번 던지면 7번 성공할까?"	"7번 성공했는데, 진짜 성공률은 몇 %일까?"

결론적으로 이항 분포가 결과(횟수)를 예측하는 도구라면, 베타 분포는 관측된 결과를 바탕으로 그 이면의 원인(확률)을 추정하는 도구다.

이항 분포가 확률에서 결과로 나아가는 순방향이라면, 베타 분포는 결과에서 확률로 거슬러 올라가는 역방향이라 할 수 있다.

이러한 특성 덕분에 베타 분포는 A/B 테스트, 머신러닝의 베이지안 추론 등 실무 데이터 분석에서 끊임없이 등장하는 핵심 개념으로 자리 잡고 있다.